2016年11月26日 更新

多様体を理解するpart1〜座標系とは〜

多様体の工学的応用についてご紹介します。

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\begin{align}
D^2 = \{(x,y) \in R^2 | x^2 + y^2 < 1 \}
\end{align}
を考え、円盤の境界では無限遠と考えます。そしてこの世界では

$D^2$の境界と直交する円弧または直線

が「直線」であると定めます。

この空間では上の図のようにある点pを通るような「平行線」は無数に存在します。

2. 「曲がった」空間での幾何学

曲がった空間での幾何学を具体的に考えてみるために、以下のような単位球面
\begin{align}
S^2 = \{ (x,y,z) \in R^3 | x^2 + y^2 + ^2 = 1\}
\end{align}
での幾何学を考えてみましょう。球面上の位置を特定するときには$(x,y,z)$の座標を指定するよりも”地図”(atlas)を使って場所を指定します。
 (2486)

場所を指定する方法として、「緯度、経度」がありますよね。これは、球面上の点を
\begin{align}
r = \{ R\cos\phi\sin\theta,R\sin\phi\sin\theta,R\cos\theta \}
\end{align}
と$(\theta, \phi)$でパラメタライズし、そのθ , πを指定することで、場所を決めているわけです。
次にこの球面上の3点を結んで、三角形を作ってみます。
球面上で作った三角形

球面上で作った三角形

この三角形、角度の和が180度にはなりません。球面三角形の内角の和は常に180度より大きいのです。平面の幾何学では成り立たないことが、曲がった幾何学を考えることで成り立つことがわかります。


今回はEuclid幾何学と非Euclid幾何学をみてきました。このような議論からどのように多様体に結びついていくのか、次の記事で説明していきたいと思います。
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