多様体を理解するpart1〜座標系とは〜

多様体の工学的応用についてご紹介します。

こんにちは！
以前、多様体の工学的応用について、このような記事を見かけました。

多様体学習多次元データの中からそれよりも低次元のデータを抽出する手法です。殆どの場合、多次元データの全てに意味があるケースは少なく、何かしらの構造があるはずです。それを何かしらの観点から解析しようというのが多様体学習になります。多様体学習がやろうとしている直感的な話に関しては以下で。

多様体学習の例とLLEについて

多様体学習とは、多次元のデータからそれよりも低次元のデータを抽出する方法です。これにより次元を削減し、計算量を落とすことができます。

一般に4次元以上になるとデータを可視化することができません。3次元未満であると空間にプロットすることでデータを可視化することができます。これを可能にするのが多様体です。

これを理解すべく、多様体についてまとめていこうと思います。

1. Euclid幾何学と非Euclid幾何学

多様体を議論する上でまず整理しておきたいのは、Euclid幾何学と非Euclid幾何学です。

高校生までに習う幾何学。主に「図形」を扱い、Euclidの原論に基づく「定義」、「公準」、「公理」から形成される幾何学。

そこで問題になったEuclidの原論の第5公準、「平行線の公理」です。

平行線の公理とは、「平面上に直線 LとL上にない点pが与えられたとき、点pを通りLに平行な直線は与えられた平面にただ1本存在する。」

高校生までに習う幾何学で考えてみると当たり前のことが、非Euclidだと成り立たなくなります。

ユークリッド幾何学のような「まっすぐ」な平面ではなく、ある種の「まがった」曲面での幾何学を考える分野です。下の例をみてください。

ポアンカレ円盤では、空間として、

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