2016年11月26日 更新

多様体を理解するpart1〜座標系とは〜

多様体の工学的応用についてご紹介します。

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こんにちは!
以前、多様体の工学的応用について、このような記事を見かけました。

 (2468)

多様体学習とは、多次元のデータからそれよりも低次元のデータを抽出する方法です。これにより次元を削減し、計算量を落とすことができます。

一般に4次元以上になるとデータを可視化することができません。3次元未満であると空間にプロットすることでデータを可視化することができます。これを可能にするのが多様体です。

これを理解すべく、多様体についてまとめていこうと思います。

1. Euclid幾何学と非Euclid幾何学

多様体を議論する上でまず整理しておきたいのは、Euclid幾何学と非Euclid幾何学です。

Euclid幾何学

高校生までに習う幾何学。主に「図形」を扱い、Euclidの原論に基づく「定義」、「公準」、「公理」から形成される幾何学。

そこで問題になったEuclidの原論の第5公準、「平行線の公理」です。
 (2474)

平行線の公理とは、「平面上に直線 LとL上にない点pが与えられたとき、点pを通りLに平行な直線は与えられた平面にただ1本存在する。」

高校生までに習う幾何学で考えてみると当たり前のことが、非Euclidだと成り立たなくなります。

非Euclid幾何学

ユークリッド幾何学のような「まっすぐ」な平面ではなく、ある種の「まがった」曲面での幾何学を考える分野です。下の例をみてください。
ポアンカレ円盤内の直線

ポアンカレ円盤内の直線

ポアンカレ円盤では、空間として、
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