2016年9月28日 更新

画像処理におけるフーリエ変換②〜フーリエ変換の理論〜

画像処理におけるフーリエ変換の第2回「フーリエ変換の理論」についてご紹介します。

1,525 view お気に入り 0
こんにちは、今回の記事での目標はフーリエ変換を数式から理解するということです。数式がたくさんでてくるのですが、そこまで難しいことではなく、中高のときに習った数学3の知識があれば十分理解することが可能です。なので「数学は難しいからいいや」っていう人とか「数学的に理解する必要はないや」って考えている人でも目を通していただけると嬉しいです。

それではまずはフーリエ変換について解説したいと思います。
フーリエ変換とはある変数に対して変化する関数を別の角度からみれるよう関数を変換する技術です。工学では、主に信号を時間領域から周波数領域に変換するために用いられています。

ここで、前回紹介したフーリエ変換の信号を例にとって説明したいと思います。
 (1299)

実はあの関数は、
 (1301)

として
 (1303)

と表されていたのです。

2πをかけている理由は、周波数を角周波数になおすためです。
ではこの式からどうやって周波数の部分だけを取り出すのか、それが今回の疑問です。
ここで用いるのが、積分です。何のことなのか全くわからないと思うので、順を追って説明していきます。

例えば y=x^2 という関数があったとしましょう。これの0〜1までの面積を求めろ、と言われると、高校生で習った知識より、以下のように求められると思います。
 (1306)

 (1307)

今度は三角関数に関して積分を行ってみます。
 (1309)

を0 〜 2πに関して積分するとどうなるのでしょうか。
ある区間における積分はその関数の符号付きの面積と考えてもらって大丈夫です。上のグラフからわかる通り、正の部分と負の部分がちょうど同じ形になっているため、この積分は0になります。
 (1312)

28 件

関連する記事 こんな記事も人気です♪

LP-tech2周年記念#人気記事のまとめ#第15位〜第11位

LP-tech2周年記念#人気記事のまとめ#第15位〜第11位

LP-techが始まってから2周年を迎えました。ここまでLP-techを続けることができたのも読者の皆様のおかげだと思っています。そこで、LP-techの感謝祭ということで、人気の記事を第20位から第1位までをご紹介します。今回は第15位〜第11位までです。
30秒動画で学ぶ画像処理 #01〜フーリエ変換、フィルタ〜

30秒動画で学ぶ画像処理 #01〜フーリエ変換、フィルタ〜

30秒動画でわかる画像処理講座です。第一弾はフーリエ変換してハイパスフィルタの通し方についてご紹介します。
画像処理におけるフーリエ変換④〜pythonによるフィルタ設計〜

画像処理におけるフーリエ変換④〜pythonによるフィルタ設計〜

画像処理におけるフーリエ変換の最終回として、pythonによるフィルタ設定についてご紹介します。
画像処理におけるフーリエ変換③〜ImageJでたたみこみ〜

画像処理におけるフーリエ変換③〜ImageJでたたみこみ〜

今回は画像処理におけるフーリエ変換の3回目ということで、たたみこみについてご紹介します。
画像の再構成理論③〜ガウシアンフィルタによる畳み込みの定式化(python)〜

画像の再構成理論③〜ガウシアンフィルタによる畳み込みの定式化(python)〜

今日は画像の再構成理論の第3回目として、今日は画像の再構成理論の第3回目についてご紹介します。
三好 裕之 | 10,766 view

この記事のキーワード

この記事のキュレーター

エルピクセル編集部 エルピクセル編集部