2016年9月28日 更新

画像処理におけるフーリエ変換(数学編)

フーリエ変換は工学によって非常に重要な役割を果たしています。その応用分野は多岐にわたり、バリバリの物理の理論家さんから地震学者、生物系の研究者までです。これからの工学を支えていく上で確実に必要となるのがフーリエ変換なわけです。

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今度は範囲を 0 〜 2π ではなく、-π 〜 π で考えてみましょう。この場合も積分範囲が変化するだけです。
積分を計算する(部分積分を二回ほど行うと計算できる、興味のある人はやってみてください)と以下のように係数が決定されます。
 (1382)

つまり、x^2は以下のように計算されるわけです。cos nxは波なので、波の合成で表されているわけです。これで、二次関数も三角関数の演算で表現されることが分かりました。式は以下のようになります。
 (1384)

本当にこんな式で表されるのかな?と思う方がいらっしゃると思いますので、Σの部分を無限個の足し算ではなく、有限個にしてどのように近づいていくか、チェックしたいと思います。赤い点線がフーリエ級数です。
n=0のとき

n=0のとき

n=1のとき

n=1のとき

n=3のとき

n=3のとき

n=5のとき

n=5のとき

n=10のとき

n=10のとき

n=100のとき

n=100のとき

このようにnの値を増やしていくことで、フーリエ級数が二次関数の形に近づいていくことがわかると思います。x^2も波の合成で表すことができました。
まだ終わりではありません。
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