画像処理におけるフーリエ変換③〜ImageJでたたみこみ〜

今回は画像処理におけるフーリエ変換の3回目ということで、たたみこみについてご紹介します。

得られる画像は下のようになります。

画像が出現しました。これは一体何なんでしょうか。

これについては以下の二つの画像で納得していただけると思います。境界には繰り返し同じ画像があるとかんがえます。左上を計算するためには、繰り返して配置された画像の右下の部分が必要になるわけです。これによって、畳み込まれた画像には画像の右下の部分が出力されたわけですね。

以上で畳み込みについてわかったのではないでしょうか。たたみこみが膨大な量の計算によってなされていることがわかったとおもいます。

ここで、この章でのメインテーマである、フーリエ変換とたたみこみとの関係について述べたいと思います。

単純化するために、以下のように３×３の画像を二つ(X[n],Y[n])を用意して、二つをたたみこんで、Z[n]になったと仮定します。

X[n]は繰り返しになっているとしているので、Z[0]の成分は以下のように計算されます。nが負のときは X[n] = X[8+n]です。

一般的にZの成分は

と計算されそうです。
ここで離散フーリエ変換という技を使います。すると、上の式はフーリエ変換対にハット(^)をつけるとすると

と表されるのです。たたみこみはフーリエ変換の積になるということになるわけです。

つまり、たたみこみを計算する際、実際に計算する必要はなく、フーリエ変換という方法を絡めれば計算が簡単になるのです。

今回でフーリエ変換のたたみこみについてある程度イメージはつかめたのではないでしょうか？フーリエ変換のたたみ込みはいろんなところで使われることなので、ぜひともマスターしたいものですね！