等角写像による画像の変換〜Schwarz-Christoffel 変換〜 part1

今回の記事は，複素関数論の分野での目玉の一つ，「等角写像」に関してです．

読んで字のごとく，「角度を保存する」と書いてありますが，具体的にどのように角度が保存されているのか，記事を読んでみるとわかると思います．

画像処理という意味合いよりかは，画像の変換なので「お遊び」のようなイメージを持たれるかもしれません．

しかし，等角写像は曲面の微分幾何の分野などでも応用がなされており，例えば，脳皮質がどの程度類似しているか，などの情報を求めるのに使われたりします[1]．

今回は，単に画像がどのように変換されるか，というのをpython を用いて試して見ようと思います．

等角写像とは

等角写像の意味

等角写像 とは，角度を保つ写像のことです．複素関数論の分野で頻繁に議論されます．ここでは，数学の理論から詳しく説明したいと思います．

等角写像となる写像は，複素数に基づく関数$f(z):=u(x,y) + i v(x,y)$に関して， Cauchy-Riemann の関係式

\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial v} \end{align} \begin{align} \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{align}

を満たすことが知られています．これを確認して見ましょう．

\begin{align} w = f(z) \end{align}

という写像を考えます．両辺の微少変位をとります．

\begin{align} dw = \frac{df}{dz} dz + \frac{df}{d\bar{z}} d\bar{z} \end{align}

ここで，$\frac{df}{dz} = r \exp{i\theta}$とします．このとき$dw = r\exp{i\theta} dz$ですので，これを図示してみると

図を見てわかる通り，写像前と後とで，角度が保たれていることが分かります．これが等角写像です．

簡単な等角写像の確認

上で述べた通り，写像が$w = f(z)$と，複素数$z$のみの関数として表されている場合に等角写像になりました．簡単な写像を用いて，これを確認して見ましょう．

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

1.py

まず，格子点を設定します．

## upper half plane
s = 3
m = 1000
x_m = np.linspace(-s,s,m/50)
y_m = np.linspace(0,s,m/100)
x = np.linspace(-s,s,m)
y = np.linspace(0,s,m)

for x_i in x_m:
    plt.plot(x_i*np.ones(m),y,color='black')
for y_i in y_m:
    plt.plot(x,y_i*np.ones(m),color='black', linestyle='dashed')    
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')

sc = 1.2
plt.xlim(-s*sc,s*sc)
plt.ylim(-s*sc,s*sc)

2.py

$w = \sin z$の写像

## conformal mapping f(z) = sin(z)

def sin(z):
    return np.sin(z)

for x_i in x_m:
    z_h = x_i*np.ones(m) + y*1j
    plt.plot(np.real(sin(z_h)),np.imag(sin(z_h)),color='black')
for y_i in y_m:
    z_v = x+y_i*np.ones(m)*1j
    plt.plot(np.real(sin(z_v)),np.imag(sin(z_v)),color='black', linestyle='dashed')    

plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
plt.xlim(-s*2,s*2)
plt.ylim(-s*2,s*2)

3.py

$w = z^2$

## conformal mapping f(z) = z^2

def z2(z):
    return  z*z
    #return  np.conj(z)*np.conj(z)

for x_i in x_m:
    z_h = x_i*np.ones(m) + y*1j
    plt.plot(np.real(z2(z_h)),np.imag(z2(z_h)),color='black')
for y_i in y_m:
    z_v = x+y_i*np.ones(m)*1j
    plt.plot(np.real(z2(z_v)),np.imag(z2(z_v)),color='black', linestyle='dashed')    

plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
sc = 3.2
plt.xlim(-s*sc,s*sc)
plt.ylim(-s*sc,s*sc)