等角写像による画像の変換〜Schwarz-Christoffel 変換〜 part1

等角写像の一つであるSchwarz Christoffel 変換を用いて，画像の変換をしてみます． python によるコードも記載しております．画像はhttps://uk.mathworks.com/help/images/examples/exploring-a-conformal-mapping_ja_JP.html より．

$w = (z-i)/(z+i)$

## conformal mapping g(z) = (z -i)/(z+i )

def h(z):
    return (z - 1j)/(z + 1j)

for x_i in x_m:
    z_h = x_i*np.ones(m) + y*1j
    plt.plot(np.real(h(z_h)),np.imag(h(z_h)),color='black')
for y_i in y_m:
    z_v = x+y_i*np.ones(m)*1j
    plt.plot(np.real(h(z_v)),np.imag(h(z_v)),color='black', linestyle='dashed')    

plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')

sc = 1.1/s
plt.xlim(-s*sc,s*sc)
plt.ylim(-s*sc,s*sc)

4.py

実はこの写像は半平面Im$z > 0$を単位円に写します．

いずれの場合も

破線と実線とが直交するように変換されていることに注目です！

Schwarz- Christoffel 変換

上の数式やコードなどを通して，微少部分で角度が保存されていることが確認できたと思います．それでは次に，この写像を目的を持って構成しましょう．目的とは，長方形から円へと写すことです．

これが出来れば，画像のように長方形のものを，円に等角に写すことができ，非常に興味深い絵が得られます．

この写像を実現するのがSchwarz-Christoffel 写像 と呼ばれるものです．

半平面から多角形に変換する写像は，以下のように記述されます．

Schwarz-Christoffel 変換

$w$平面上の多角形に関して，その各頂点の内角を順番に $\alpha_1 \pi, \alpha_2 \pi,\cdots, \alpha_n \pi$とするとき \begin{align} \frac{dw}{dz} = \gamma(z-a_1)^{\alpha_1 - 1}(z-a_2)^{\alpha_2 - 1} \cdots
(z-a_n)^{\alpha_n - 1} \end{align} によって，半平面から$n$角形に写される．

直感的な理解は，実軸上の点$a_l$を実軸に沿って通過するとき，$(z-a_l)$の符号が変わる，つまり$\pi$だけ角度が変わることを用います．このとき$(z-a_l)^{\alpha_l - 1}$の項により $\pi(\alpha_l - 1)$だけ角度が変化することを考えれば，納得がいくかと思います．

これを用いると，半平面から長方形の写像は，以下のように楕円積分を用いた式によって与えられます．詳細は[2]の文献でご確認ください．

\begin{align} w = \int_{0}^z \frac{1}{\sqrt{(1-k^2z’^2)(1-z’^2)}} dz’ \end{align}

これが出来たら，以下のような流れで画像から円への写像が完成します．