画像のセグメンテーション - Level set 法の実装 (Chan-Vese) -

画像のセグメンテーションとは，画像から注目している領域を切り取る ということです．例えば，細胞の画像が与えられたとき，その画像から細胞部分と背景部分とを区別することは，非常に重要です．

一見，二値化すれば終わりのように思いますが，画像処理の分野では，画像にノイズが含まれる場合を考慮する必要があり，簡単にはいきません． ここで力を発揮するのが，画像のセグメンテーションです．

画像のセグメンテーションには，いくつか手法があります．

• Snakes
• Level set 法
• Deep Learning に基づく方法

ここではその中でも，Level set 法と呼ばれる方法を紹介したいと思います．

Level set 法とは，Osher やSethean によって開発された，セグメンテーションの枠組みです．この枠組みでは，領域の内部，外部をLevel set 関数と呼ばれる陰関数$\phi$の符号によって表現します． 具体的には

\begin{equation} \phi(r,t) < 0 \ \ r \in \Omega \end{equation}

\begin{equation} \phi(r,t) =0 \ \ r \in \partial \Omega
\end{equation} \begin{equation} \phi(r,t) >0 \ \ r \notin \Omega \end{equation}

とします．Level set 関数には，領域の個数などの事前情報が必要ないといったメリットがあります．

ここで更新の仕方をざっと説明したいと思います．

\begin{align} \phi(r+dr,t+dt) - \phi(r,t) = 0 \end{align} \begin{align} \therefore \ \frac{\partial \phi}{\partial t} + v\cdot \nabla \phi =0 \end{align}

この式はHamilton-Jacobi 方程式と呼ばれ，様々なところで目にすると思います．

ここで，上の$v$は更新速度であり，評価関数の微分によって計算されます．

大まかな理論に関して説明したところで，具体的に画像のセグメンテーションを行いましょう． 今回は，Github で公開されていた，Python のプログラムを用いてみます．

Chan-Vese level sets in Python

Chan-Vese Level set では以下のコスト関数を最小化します．

\begin{align} E(C) = \mu_1 \int_{\rm inside} |I(x,y)-c_1|dxdy + \mu_2 \int_{\rm outside} |I(x,y)-c_2|dxdy + \alpha \kappa \end{align}

この式の意味は

• 第一項: 内部の輝度値($c_1$)と画像の輝度値($I(x,y)$)との差分
• 第二項: 外部の輝度値($c_2$)と画像の輝度値($I(x,y)$)との差分
• 第三項: 曲線の曲率項(安定して更新するため)

です．つまり，内部と外部の輝度値を決めておくことで，外部の輪郭の抽出ができるということですね．