2018年11月14日 更新

等角写像による画像の変換〜Schwarz-Christoffel 変換〜 part1

等角写像の一つであるSchwarz Christoffel 変換を用いて,画像の変換をしてみます. python によるコードも記載しております. 画像はhttps://uk.mathworks.com/help/images/examples/exploring-a-conformal-mapping_ja_JP.html より.

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 (5029)

$w = (z-i)/(z+i)$

## conformal mapping g(z) = (z -i)/(z+i )

def h(z):
    return (z - 1j)/(z + 1j)

for x_i in x_m:
    z_h = x_i*np.ones(m) + y*1j
    plt.plot(np.real(h(z_h)),np.imag(h(z_h)),color='black')
for y_i in y_m:
    z_v = x+y_i*np.ones(m)*1j
    plt.plot(np.real(h(z_v)),np.imag(h(z_v)),color='black', linestyle='dashed')    

plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')

sc = 1.1/s
plt.xlim(-s*sc,s*sc)
plt.ylim(-s*sc,s*sc)
4.py
 (5026)

実はこの写像は半平面Im$z > 0$を単位円に写します.

いずれの場合も

破線と実線とが直交するように変換されていることに注目です!

Schwarz- Christoffel 変換

上の数式やコードなどを通して,微少部分で角度が保存されていることが確認できたと思います. それでは次に,この写像を目的を持って構成しましょう. 目的とは,長方形から円へと写すことです.

これが出来れば,画像のように長方形のものを,円に等角に写すことができ,非常に興味深い絵が得られます.

この写像を実現するのがSchwarz-Christoffel 写像 と呼ばれるものです.

半平面から多角形に変換する写像は,以下のように記述されます.


Schwarz-Christoffel 変換

$w$平面上の多角形に関して,その各頂点の内角を順番に $\alpha_1 \pi, \alpha_2 \pi,\cdots, \alpha_n \pi$とするとき \begin{align} \frac{dw}{dz} = \gamma(z-a_1)^{\alpha_1 - 1}(z-a_2)^{\alpha_2 - 1} \cdots
(z-a_n)^{\alpha_n - 1} \end{align} によって,半平面から$n$角形に写される.


直感的な理解は,実軸上の点$a_l$を実軸に沿って通過するとき,$(z-a_l)$の符号が変わる,つまり$\pi$だけ角度が変わることを用います.このとき$(z-a_l)^{\alpha_l - 1}$の項により $\pi(\alpha_l - 1)$だけ角度が変化することを考えれば,納得がいくかと思います.

これを用いると,半平面から長方形の写像は,以下のように楕円積分を用いた式によって与えられます.詳細は[2]の文献でご確認ください.

\begin{align} w = \int_{0}^z \frac{1}{\sqrt{(1-k^2z’^2)(1-z’^2)}} dz’ \end{align}

これが出来たら,以下のような流れで画像から円への写像が完成します.

  1. 画像から半平面への写像を計算
  2. 半平面から円への計算
 (5037)

まとめ

今回は,等角写像について説明を行い,簡単な等角写像を実装してみました.また,長方形から円へと等角に写すSchwarz-Christoffel 写像の紹介を行いました.

次回は実際にこれを実装してみます.

参考文献

[1] Genus Zero Surface Conformal Mapping and Its Application to Brain Surface Mapping,

Xianfeng Gu, Yalin Wang, Tony F. Chan, Paul M. Thompson, Shing-Tung Yau

[2] Complex Variables

Mark J. Ablowitz, University of Colorado, Boulder , Athanassios S. Fokas, Imperial College of Science, Technology and Medicine, London

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