CTの原理①～ラドン変換～

さて，それではCTの原理について説明していきましょう． CTは，X線を目的の物体に照射し，それの減衰を見ることによって，物体の形状を再構成する手法です． 投影する領域全体での減衰率$f(x,y)$を復元します． 図の角度$\theta$から$\Omega$へ投影し，それにより得られる積分量は以下のように記述されます． \[ p(r,\theta) = \int_\Omega f(x,y) \delta(r-x \cos \theta - y\sin\theta)d xdy \] 様々な角度$\theta$からの投影により，$f(x,y)$を完全に求めることが目的です． この$p(r,\theta)$が観測量です． 関数$p(r,\theta)$を$f(x,y)$のラドン変換と呼びます． この$\delta(r)$というのはディラックのデルタ関数と呼ばれる関数であり，可積分な関数$f(x)$ に対して \[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f(x) dx = f(0) \] となるようなものです． $\delta$の中身が$0$になるところだけ出現すると考えてもらってよいです． 上での積分は，デルタ関数の定義から，物体を$\theta$方向から投影した総和が得られることがわかります．