今回の記事は，複素関数論の分野での目玉の一つ，「等角写像」に関してです．
読んで字のごとく，「角度を保存する」と書いてありますが，具体的にどのように角度が保存されているのか，記事を読んでみるとわかると思います．
画像処理という意味合いよりかは，画像の変換なので「お遊び」のようなイメージを持たれるかもしれません．
しかし，等角写像は曲面の微分幾何の分野などでも応用がなされており，例えば，脳皮質がどの程度類似しているか，などの情報を求めるのに使われたりします[1]．
今回は，単に画像がどのように変換されるか，というのをpython を用いて試して見ようと思います．
等角写像とは
等角写像の意味
等角写像 とは，角度を保つ写像のことです．複素関数論の分野で頻繁に議論されます． ここでは，数学の理論から詳しく説明したいと思います．
等角写像となる写像は，複素数に基づく関数$f(z):=u(x,y) + i v(x,y)$に関して， Cauchy-Riemann の関係式
\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial v} \end{align} \begin{align} \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{align}
を満たすことが知られています．これを確認して見ましょう．
\begin{align} w = f(z) \end{align}
という写像を考えます．両辺の微少変位をとります．
\begin{align} dw = \frac{df}{dz} dz + \frac{df}{d\bar{z}} d\bar{z} \end{align}
ここで，$\frac{df}{dz} = r \exp{i\theta}$とします．このとき$dw = r\exp{i\theta} dz$ですので，これを図示してみると
図を見てわかる通り，写像前と後とで，角度が保たれていることが分かります． これが等角写像です．
簡単な等角写像の確認
上で述べた通り，写像が$w = f(z)$と，複素数$z$のみの関数として表されている場合に等角写像になりました．簡単な写像を用いて，これを確認して見ましょう．
import matplotlib import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np
## upper half plane s = 3 m = 1000 x_m = np.linspace(-s,s,m/50) y_m = np.linspace(0,s,m/100) x = np.linspace(-s,s,m) y = np.linspace(0,s,m) for x_i in x_m: plt.plot(x_i*np.ones(m),y,color='black') for y_i in y_m: plt.plot(x,y_i*np.ones(m),color='black', linestyle='dashed') plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box') sc = 1.2 plt.xlim(-s*sc,s*sc) plt.ylim(-s*sc,s*sc)
$w = \sin z$の写像
## conformal mapping f(z) = sin(z) def sin(z): return np.sin(z) for x_i in x_m: z_h = x_i*np.ones(m) + y*1j plt.plot(np.real(sin(z_h)),np.imag(sin(z_h)),color='black') for y_i in y_m: z_v = x+y_i*np.ones(m)*1j plt.plot(np.real(sin(z_v)),np.imag(sin(z_v)),color='black', linestyle='dashed') plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box') plt.xlim(-s*2,s*2) plt.ylim(-s*2,s*2)
$w = z^2$
## conformal mapping f(z) = z^2 def z2(z): return z*z #return np.conj(z)*np.conj(z) for x_i in x_m: z_h = x_i*np.ones(m) + y*1j plt.plot(np.real(z2(z_h)),np.imag(z2(z_h)),color='black') for y_i in y_m: z_v = x+y_i*np.ones(m)*1j plt.plot(np.real(z2(z_v)),np.imag(z2(z_v)),color='black', linestyle='dashed') plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box') sc = 3.2 plt.xlim(-s*sc,s*sc) plt.ylim(-s*sc,s*sc)
$w = (z-i)/(z+i)$
## conformal mapping g(z) = (z -i)/(z+i ) def h(z): return (z - 1j)/(z + 1j) for x_i in x_m: z_h = x_i*np.ones(m) + y*1j plt.plot(np.real(h(z_h)),np.imag(h(z_h)),color='black') for y_i in y_m: z_v = x+y_i*np.ones(m)*1j plt.plot(np.real(h(z_v)),np.imag(h(z_v)),color='black', linestyle='dashed') plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box') sc = 1.1/s plt.xlim(-s*sc,s*sc) plt.ylim(-s*sc,s*sc)
実はこの写像は半平面Im$z > 0$を単位円に写します．
いずれの場合も
破線と実線とが直交するように変換されていることに注目です！
Schwarz- Christoffel 変換
上の数式やコードなどを通して，微少部分で角度が保存されていることが確認できたと思います． それでは次に，この写像を目的を持って構成しましょう． 目的とは，長方形から円へと写すことです．
これが出来れば，画像のように長方形のものを，円に等角に写すことができ，非常に興味深い絵が得られます．
この写像を実現するのがSchwarz-Christoffel 写像 と呼ばれるものです．
半平面から多角形に変換する写像は，以下のように記述されます．
Schwarz-Christoffel 変換
$w$平面上の多角形に関して，その各頂点の内角を順番に $\alpha_1 \pi, \alpha_2 \pi,\cdots, \alpha_n \pi$とするとき
\begin{align}
\frac{dw}{dz} = \gamma(z-a_1)^{\alpha_1 - 1}(z-a_2)^{\alpha_2 - 1} \cdots
(z-a_n)^{\alpha_n - 1}
\end{align}
によって，半平面から$n$角形に写される．
直感的な理解は，実軸上の点$a_l$を実軸に沿って通過するとき，$(z-a_l)$の符号が変わる，つまり$\pi$だけ角度が変わることを用います．このとき$(z-a_l)^{\alpha_l - 1}$の項により $\pi(\alpha_l - 1)$だけ角度が変化することを考えれば，納得がいくかと思います．
これを用いると，半平面から長方形の写像は，以下のように楕円積分を用いた式によって与えられます．詳細は[2]の文献でご確認ください．
\begin{align} w = \int_{0}^z \frac{1}{\sqrt{(1-k^2z’^2)(1-z’^2)}} dz’ \end{align}
これが出来たら，以下のような流れで画像から円への写像が完成します．
- 画像から半平面への写像を計算
- 半平面から円への計算
まとめ
次回は実際にこれを実装してみます．
参考文献
[1] Genus Zero Surface Conformal Mapping and Its Application to Brain Surface Mapping,
Xianfeng Gu, Yalin Wang, Tony F. Chan, Paul M. Thompson, Shing-Tung Yau
Mark J. Ablowitz, University of Colorado, Boulder , Athanassios S. Fokas, Imperial College of Science, Technology and Medicine, London