CTの詳しい原理について話していこうと思います．
CTというと，既に完成された技術のように思いますが，「投影回数を少なくしたい！」かつ，「様々な方向から投影できない！」という場合にも対応できるように，より精密に断面を再構成する技術が求められています．
CTというと，既に完成された技術のように思いますが，「投影回数を少なくしたい！」かつ，「様々な方向から投影できない！」という場合にも対応できるように，より精密に断面を再構成する技術が求められています．
目次
・CT とは
・CTの原理
・Radon変換のmatlab のプログラム
・CTの原理
・Radon変換のmatlab のプログラム
1. CT とは
CTとは，Computed Tomography の頭文字をとったもので，コンピュータ断層撮像法と訳されます． CT検査とは，X線をつかって身体の断面を撮影する検査です． X線を照射し，断面を通過したデータを集め，画像処理を行うことで，断面を再構成します．
CTの応用分野は非常に広く，医療系であれば「カテーテルX線血管造影法」，「CTアンジオグラフィ」，「三次元欠陥撮影」（参考文献[1]），工業系であれば「非破壊検査」，「CAE」，「デジタルエンジニアリング」などがあります．
６４列マルチディテクターCTを用いた冠動脈CT検査
参考文献[2]
2. CTの原理
さて，それではCTの原理について説明していきましょう．
CTは，X線を目的の物体に照射し，それの減衰を見ることによって，物体の形状を再構成する手法です．
投影する領域全体での減衰率$f(x,y)$を復元します．
図の角度$\theta$から$\Omega$へ投影し，それにより得られる積分量は以下のように記述されます．
\[
p(r,\theta) = \int_\Omega f(x,y) \delta(r-x \cos \theta - y\sin\theta)d xdy
\]
様々な角度$\theta$からの投影により，$f(x,y)$を完全に求めることが目的です．
この$p(r,\theta)$が観測量です．
関数$p(r,\theta)$を$f(x,y)$のラドン変換と呼びます．
この$\delta(r)$というのはディラックのデルタ関数と呼ばれる関数であり，可積分な関数$f(x)$
に対して
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f(x) dx = f(0)
\]
となるようなものです．
$\delta$の中身が$0$になるところだけ出現すると考えてもらってよいです．
上での積分は，デルタ関数の定義から，物体を$\theta$方向から投影した総和が得られることがわかります．
3. Radon 変換のプログラム
以下，少しだけmatlab のコードを載せたいと思います．
ラドン変換などの原理の理解の一助となれば幸いです．
ラドン変換などの原理の理解の一助となれば幸いです．
まず，サンプルデータをロードします．
P = phantom(256); imshow(P)
load_phantom.mat
Phantom データ
次にラドン変換をしてみます．
theta = 0:10:170; %% 投影する角度の設定 [R,xp] = radon(P,theta);
radon.mat
表示してみます．
figure, imagesc(theta,xp,R);
colormap(hot);
colorbar
xlabel('\theta');
ylabel('x\prime');plot.mat
様々な方向からの投影が得られたと思います．
プロットしてみるとなかなか面白いですね！
プロットしてみるとなかなか面白いですね！
4. 再構成方法
さて，Radon変換によって投影が得られました． では，投影からどうやって元の画像を復元するのでしょうか？
主に以下のような手法があります．
・投影切断面定理を用いる方法
・スパースモデリング
スパースモデリングは近年急速に流行っている手法なので，聞いたことがあるかもしれません． これらに関しては次の記事で説明していこうと思います．